第6回『算法少女』(えすとれ)

さんかくすと文がえます

算法さんぽう少女しょうじょ」にてくる問題もんだいいてみよう!

問題もんだい

半円はんえん直角三角形ちょっかくさんかくけい内接ないせつさせ、この直角三角形ちょっかくさんかくけい内接円ないせつえんと、弓形きゅうけいないにえがいた最大さいだいえんがあいひとしいときの外接円がいせつえん小円しょうえん半径はんけい関係かんけい問題もんだいである。

えすとれ先輩
えすとれ先輩

外側そとがわにあるおおきなえん外接円がいせつえん)の半径はんけいRラージアールと、ひとしい2つの内接円ないせつえん小円しょうえん)の半径はんけいrスモールアール関係かんけい数式すうしきあらわすようにもとめている問題もんだいですね。

えすとれの解法かいほう

1.内接円ないせつえん半径はんけいもとめる公式こうしき使つかってゴールをめる
えすとれ先輩
えすとれ先輩

せっかく「内接円ないせつえん」とかれているので、公式こうしき使つかってあらわしてみましょう。

三角形さんかくけい面積めんせきの2ばい = 内接円ないせつえん半径はんけい × 三角形さんかくけい三辺さんぺん総和そうわ』 です。
公式こうしき証明しょうめいはリンクさき参考さんこうにしてください。

以降いこう線分せんぶんBCビーシーながさをa、ACエーシーながさをb、ABエービーながさをcとあらわす。

三角形さんかくけいABCエービーシー直角三角形ちょっかくさんかくけいであるから、
三角形さんかくけい面積めんせきの2ばい = a × b

三角形さんかくけいへんのうち、cはえん直径ちょっけいひとしいので
c = 2Rラージアールの2倍

aba × b = r ( a + b + 2R )a + b + ラージアールの2倍に、スモールアールを掛ける

えすとれ先輩
えすとれ先輩

aとbをもとめて、このしき代入だいにゅうすればこたえがせそうです!

2.aのながさをRラージアールrスモールアールあらわ
えすとれ先輩
えすとれ先輩

つぎは、三角形さんかくけい外側そとがわにある小円しょうえん注目ちゅうもくします。

外接円がいせつえん中心ちゅうしんOから、円周えんしゅうにむかって線分せんぶんBCビーシー平行へいこう直線ちょくせんく。線分せんぶんACエーシーとの交点こうてんをD、円周えんしゅうとの交点こうてんをEとする。

三角形さんかくけいABCエービーシー三角形さんかくけいAODエーオーディーは、かくAを共有きょうゆうBCビーシーODオーディー平行へいこうであるから、相似そうじである。また、てんOがえん中心ちゅうしんであることにより、AOエーオー = OBオービー = Rラージアールとわかり、AOエーオー : ABエービー = 1 : 2がみちびかれる。

三角形さんかくけいAODエーオーディー三角形さんかくけいABCエービーシー相似比そうじひが 1 : 2 であるから、
OD線分オーディーの長さ = a ÷ 2

線分せんぶんDEディーイー内接円ないせつえん直径ちょっけいであるから、
DE線分ディーイーの長さ = 2rスモールアールの2倍

線分せんぶんOEオーイー外接円がいせつえん半径はんけいでもあるため、
OE線分オーイーの長さ = Rラージアール

Rラージアール = 2rスモールアールの2倍 + ( a ÷ 2 )
全体ぜんたいに2をかけて、2Rラージアールの2倍 = 4rスモールアールの4倍 + a
aをもとめるしきになるよう移項いこうして、

a = 2Rラージアールの2倍 ひく 4rスモールアールの4倍

3.bのながさをRラージアールrスモールアールあらわ
えすとれ先輩
えすとれ先輩

ふたたび、三角形さんかくけい内接円ないせつえん注目ちゅうもくします。

内接円ないせつえん中心ちゅうしんをPとおく。頂点ちょうてんAと頂点ちょうてんB、それぞれからPまでかく二等分線にとうぶんせんく。Pから線分せんぶんABエービー垂直すいちょくせんき、交点こうてんをFとする。BCビーシーACエーシーについても同様どうようおこない、交点こうてんをG、Hとする。

三角形さんかくけいAFPエーエフピー三角形さんかくけいAHPエーエイチピー合同ごうどうであり、三角形さんかくけいBFPビーエフピー三角形さんかくけいBGPビージーピーもまた合同ごうどうである。四角形しかくけいPGCHピージーシーエイチは、すべてのかく直角ちょっかくであり、となへんPGピージーPHピーエイチがどちらも内接円ないせつえん半径はんけいrスモールアールひとしいことから、正方形せいほうけいである。

2.の計算結果けいさんけっかより、
a = 2Rラージアールの2倍 ひく 4rスモールアールの4倍 = rスモールアール + GB線分ジービーの長さ
GB線分ジービーの長さ = 2Rラージアールの2倍 ひく 5rスモールアールの5倍

合同ごうどう三角形さんかくけい性質せいしつよりGBジービー = BFビーエフであるから
2Rラージアールの2倍 = AF線分エーエフの長さ + 2Rラージアールの2倍 引く 5rスモールアールの5倍
AF線分エーエフの長さ = 5rスモールアールの5倍

同様どうように、AFエーエフ = AHエーエイチであるから
b = 5rスモールアールの5倍 + rスモールアール

b = 6rスモールアールの6倍

4.こたえをもとめる
えすとれ先輩
えすとれ先輩

必要ひつようなピースはすべてそろいました! 代入だいにゅうしてこたえをもとめましょう!

1.より aba × b = r ( a + b + 2R )a + b + ラージアールの2倍に、スモールアールを掛ける
2.より a = 2Rラージアールの2倍 ひく 4rスモールアールの4倍
3.より b = 6rスモールアールの6倍

(2R – 4r) × 6r = r ( 2R – 4r + 6r + 2R)1の式に2と3を代入
全体ぜんたいrスモールアールってから計算けいさん
12Rラージアールの12倍 引く 24rスモールアールの24倍 = 4Rラージアールの4倍 + 2rスモールアールの2倍
8Rラージアールの8倍 = 26rスモールアールの26倍

4Rラージアールの4倍 = 13rスモールアールの13倍

こたえは『外接円がいせつえん半径はんけいの4ばいが、内接円ないせつえん半径はんけいの13ばいひとしくなる』

別解べつかい:ゴールを三平方さんへいほう定理ていりにする
えすとれ先輩
えすとれ先輩

1.で設定せっていするゴールのしきは、三平方さんへいほう定理ていり使つかってもくことができます。直角三角形ちょっかくさんかくけいならば、直角ちょっかくはさむ2へんをそれぞれ2じょうしたもののが、斜辺しゃへんの2じょうひとしくなるというものですね。内接円ないせつえん半径はんけい公式こうしきほうが、表現ひょうげん簡素かんそになったのでそちらを選択せんたくしました。

算法さんぽう少女しょうじょ」には、ほかにもユニークな問題もんだい登場とうじょうします。是非ぜひんで、んでみてくださいね。

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